Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C。

（1）如图1，连接AC、BC，求△ABC的面积。

（2）如图2：

①过点C作CR∥x轴交抛物线于点R，求点R的坐标；

②点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的坐标。

（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长。

Answer 1

【答案】（1）3（2）①Q（-2，5）②6（3）7

【解析】分析：（1）令y=0，即=0，得点A，B的坐标，令x=0求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求出△ABC的面积；

（2）①由CR∥x轴可知点R的纵坐标是-2，设R（q，-2），把R（q，-2）代入二次函数解析式即可求出点R的坐标；②由题意可知，当∠PCR=∠BCR时，点P即所求. 延长PC交x轴于点D,由△DOC≌△BOC求出点D的坐标，进而求出直线CD的解析式，然后联立二次函数和所求一次函数解析式即可求出点P的坐标；

（3）作FG⊥PK，先证明∠HAP=∠KPA，得HA=HP，由△AKH≌△KFG，可得KH=FG=2，进而得出K的坐标，再由待定系数法求出直线KB的关系式，并与二次函数关系式联立，求出方程组的解，结合PQ∥x轴即可得出答案.

详解：（1）令y=0，得=0，

解之得，

x1=1,x2=4,

∴A(1,0)，B（4.0）;

令x=0得，

，

∴C（0，-2）.

∴ =3

（2）① ∵ CR∥x轴

∴ 可设R（q，-2）

则：

解得：q1=0，q2=5

∴ R（-2，5）

②当∠PCR=∠BCR时，点P即所求。

延长PC交x轴于点D,

∵ CR∥x轴,

∴∠PDB=∠PCR.

∵∠ABC=∠BCR=∠PCR,

∴∠PDB=∠ABC.

又∵OC=OC，∠DOC=∠BOC=90°,

∴△DOC≌△BOC,

∴OD=OB,

∴D（-4,0）,

∴yCD= ,

解方程组：得：

，,

∴ 点P的横坐标是6 ;

（3）过点F作FG⊥PK于点G，

∵ AK=FK

∴ ∠KAF=∠KFA

而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，

由题意∠KAH=∠FKP，

∴∠HAP=∠KPA，

∴HA=HP，

∴△AHP为等腰直角三角形

∴∠FPG=45°

∴△FPG为等腰直角三角形

∴FG=PG==2

在△AKH和△KFG中

∵∠AHK=∠KGF=90°，∠KAH=∠FKG，KA=FK

∴△AKH≌△KFG（AAS）

∴KH=FG=2

∴K（6,2）

又 ∵ B（4,0）

∴yKB=x-4

解方程组得或

∴Q（-1，-5）

而P（6，-5）

∴PQ∥x轴

∴PQ=7