Question

如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A落在弧BC的中点F上，若BC=5，则正△ABC的外接圆半径为______，折痕在△ABC内的部分DE长为______．

Answer 1

连接AF，与DE交于点O，与BC交于点G，连接OB，
由折叠可知：AF为△ABC外接圆的直径，O为圆心，
∵F为弧BC的中点，
∴AF⊥BC，G为BC的中点，即BG=

1

2

BC=2.5，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠OBC=30°，
∴在Rt△BOG中，BO=2OG，
∴AO=BO=2OG，
根据勾股定理得：BO²=BG²+OG²，即4OG²=6.25+OG²，
解得：OG=

5 3

6

，
则△ABC外接圆半径AO=2OG=

5 3

3

，
由折叠可得：DE⊥AF，又BC⊥AF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AO

AG

=

2

3

，
则DE=

2

3

×5=

10

3

．
故答案为：

5 3

3

；

10

3