Question

4．如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上的一点，ED为⊙O的一条弦，交AB于点H，交AC于点F，过点C画⊙O的切线交ED的延长线于点P，且PC=PF．
（1）求证：AB⊥ED；
（2）当点D为劣弧AC的中点时，连接AD，若DF=3、AD=4，求EF的长及sin∠BED的值．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，连接OC．根据切线的性质，OC⊥PC．根据PC=PF，OC=OA，可得：∠PCF=∠PFC，∠OCF=∠OAC．在Rt△FHA中，可得：∠FHA=90°，故AB⊥ED；
（2）连接AE，由点D是弧AC中点，得到∠DAF=∠DEA，推出△DAF∽△DEA，得到比例式，求得结果．

解答 （1）证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°，
∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠CFP=∠AFH，
∴∠AFH+∠OAC=90°，
∴∠AHF=90°，
即：AB⊥ED．

（2）连接AE．
∵点D是弧AC中点，
∴∠DAF=∠DEA，
∵∠ADE=∠ADE，
∴△DAF∽△DEA，
∴AD：ED=FD：AD，
∴AD²=DE•DF．
∴DE=$\frac{{AD}^{2}}{DF}$=$\frac{{4}^{2}}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴EF=DE-DF=$\frac{7}{3}$，
∵∠DAB=∠BED，
∴sin∠BED=sin∠DAB=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{\frac{8}{3}}{4}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定已知此线过圆上某点，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．