Question

4．已知一抛物线与x轴两交点间的距离为2，且经过P（0，-16），顶点在直线y=2上，求它的关系式．

Answer 1

分析 设抛物线解析式为y=a（x-m）²+2，利用抛物线的对称性可表示出抛物线与x轴两交点的坐标为（m+1，0），（m-1，0），再把（0，-16），（m+1，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{a{m}^{2}+2=-16}\\{a+2=0}\end{array}\right.$，然后解方程组求出a和m即可得到抛物线解析式．

解答 解：设抛物线的顶点坐标为（m，2），则抛物线解析式为y=a（x-m）²+2，
因为抛物线与x轴两交点间的距离为2，
所以抛物线与x轴两交点的坐标为（m+1，0），（m-1，0），
把（0，-16），（m+1，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{a{m}^{2}+2=-16}\\{a+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{m=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{m=-3}\end{array}\right.$．
所以抛物线解析式为y=-2（x-3）²+2或y=-2（x+3）²+2．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．