Question

【题目】任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数A的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B，则称A和B为一对四位回文数．例如A=2016，B=6102，则A和B就是一对四位回文数，现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261，它们的和为：610+102+26+261=999，把999称为2016的回文数作三位数的和．

（1）请直接写出一对四位回文数：猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？并说明理由；

（2）已知一个四位正整数（千位数字为1，百位数字为x且0≤x≤9，十位数字为1，个位数字为y且0≤y≤9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出x与y的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）例如A=1234和B=4321是一对四位回文数，理由见解析；

（2）x+y=7或x+y=16．

【解析】试题分析：（1）根据回文数的概念解答即可；

（2）根据整式的混合运算法则解答即可．

试题解析：(1)一个四位正整数和回文数作三位数的和能否被111整除。

例如A=1234和B=4321是一对四位回文数，

将4321依次顺取三个数字组成的新数分别为：432，321，214，143，它们的和为432+321+214+143=1110，

1110能被111整除；

(2)正整数1x1y的回文数是y1x1，

则回文数作三位数的和为：100y+10+x+100+10x+1+100x+10+y+100+10y+1=100x+100y+222=111(x+y+2)，

由题意得，x+y+2=27，

则x+y=25.