Question

11．等边△ABC外有一点P，设P到三边的距离分别为h₁，h₂，h₃，且h₁-h₂+h₃=6，则△ABC的面积为12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据等边三角形的面积即可计算（h₁-h₂+h₃）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC的值，即可求得△ABC的面积，即可解题．

解答 解：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，
则S_△PAB+S_△PBC-S_△PAC=S_△ABC，
从而$\frac{1}{2}$ah₁-$\frac{1}{2}$ah₂+$\frac{1}{2}$ah₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
即 $\frac{1}{2}$a（h₁-h₂+h₃）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
∵h₁-h₂+h₃=6，
∴a=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=12$\sqrt{3}$．
故答案为12$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键．