【题目】如图,在中,为上一点,以为圆心,长为半径作圆,与相切于点,过点作交的延长线于点,且.
(1)求证:为的切线;
(2)若, ,求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)作OE⊥AB于点E,证明△OBC≌△OBE,根据全等三角形的对应边相等可得OE=OC, OE是⊙O的半径 ,OE⊥AB ,即可判定AB为⊙O的切线;
(2)根据题意先求出AO、BO的长,再证明△AOD∽△BOC,根据相似三角形对应边成比例即可求出AD的长.
(1)作OE⊥AB于点E,
∵切BC于点C,
∴OC⊥BC,∠ACB=90°,
∵ AD⊥BD,∴∠D=90°,
∴∠ABD+∠BAD =90°,∠CBD+∠BOC=90°,
∵∠BOC=∠AOD,∠AOD=∠BAD,
∴∠BOC=∠BAD,
∴∠ABD=∠CBD
在△OBC和△OBE中,
∴△OBC≌△OBE,
∴OE=OC,∴OE是⊙O的半径 ,
∵OE⊥AB ,∴AB为⊙O的切线;
(2) ∵tan∠ABC=,BC=6,
∴AC=8,∴AB= ,
∵BE=BC=6,∴AE=4,
∵∠AOE=∠ABC,∴tan∠AOE= ,∴EO=3,
∴AO=5,OC=3,∴BO=,
在△AOD和△BOC中,
∴△AOD∽△BOC,∴ ,
即 ,∴AD= .
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【题目】家庭过期药品属于“危险废物”,处理不当将污染环境.某市药监部门为了了解市民家庭处理过期药品的方式,决定对全市家庭做一次简单随机抽样调查.
(1)下列选取样本的方法最合理的一种是____________.(只需填上正确答案的序号)
①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取;
②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取;
③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取.
经抽样调查发现,接受调查的家庭都有过期药品,现将有关数据呈现如图:
(2)填空:m=______,n=_____;
(3)补全条形统计图;
(4)该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是 .(只填序号)
(5)家庭过期药品的正确处理方式是送回收点,若该市有180万户家庭,请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点.
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【题目】如图,在等腰三角形ABC中,AC=BC=4,∠A=30°,点D为AC的中点,点E为边AB上一个动点,连接DE,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点F处.当直线EF与直线AC垂直时,则AE的长为_____.
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【题目】如图,点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,4),OABC为矩形,反比例函数 的图象过AB的中点D,且和BC相交于点E,F为第一象限的点,AF=12,CF=13.
(1)求反比例函数和直线OE的函数解析式;
(2)求四边形OAFC的面积?
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【题目】如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:①HE=HF;②EC平分∠DCH;③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;④当点H与点A重合时,EF=2.以上结论中,你认为正确的有( )个.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)如图,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小?若存在,求出四边形PAOC周长的最小值;若不存在,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,点Q是线段OB上一动点,当△BPQ与△BAC相似时,求点Q的坐标.
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【题目】如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座BC=0.60米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.50米,篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮框D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据:cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,≈1.732,≈1.414)
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【题目】综合与探究
如图,抛物线经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为.连接AC,BC,DB,DC,
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时,求的值;
(3)在(2)的条件下,若点M是轴上的一个动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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