Question

7．已知△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，∠BAC=∠DAE，AD=AE，连接CE．
（1）当∠BAC=90°时，如图1，直接写出线段CE、CD、BC的数量关系CE+CD=BC；
（2）当∠BAC=120°时，如图2，求证：CE+CD=BC；
（3）在（2）的条件下，点G为AC的中点，连接BG，∠BAD=∠ABG，若AE=7，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）易证∠BAD=∠EAC，即可证明△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得到结论；
（2）易证∠BAD=∠EAC，即可证明△ABD≌△ACE，BD=CD，即可得到结论；
（3）先作出辅助线判断出△ABM≌△ABG得到AM=BG，BM=AG进而判断出△ADN≌△BDM即可得出结论．

解答 解：（1）BC=CE+CD，
理由：∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC
∠EAC=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
∴BC=BD+CD=CE+CD；
故答案为：BC=CE+CD
（2）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
∴BC=BD+CD=CE+CD，
（3）如图3

过点B作BM⊥BC，交AD延长线于M，过点A作AN⊥BC于N；
∵∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC，AD=AE，
∴∠ABC=∠ACB=30°，∠ADE=∠AED=30°，
∵BM⊥BC，
∴∠MBC=90°，
∴∠MBA=120°=∠BAC，
∵AB=AB，∠BAC=∠DAE，
∴△ABM≌△ABG，
∴AM=BG，BM=AG，
在Rt△ANC中，∠ACB=30°，
∴AN=$\frac{1}{2}$AC=AG=BM，
∵∠ANC=90°=∠MBC，
∠BDM=∠AND，
∴△ADN≌△BDM，
∴AD=DM=7，
∴BG=2AD=14．

点评 此题是三角形综合题，主要考查等腰三角形的性质以及三角形全等的判定和性质，灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键