Question

19．如图，已知BD是等腰Rt△ABC腰上的中线，AE⊥BD于点E，AE的延长线交BC于点F，连接DF，求证：∠ADB=∠CDF．

Answer 1

分析 由∠BAC为直角，得到其它两锐角互余，又根据AE与BD垂直，得到三角形ADF为直角三角形，故两锐角也互余，根据同角的余角相等即可得证．

解答 证明：作AG平分∠BAC，交BD于点G
∵∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°，
∴∠ABG=∠CAF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠C=∠BAG=45°，
在△BAG和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABG=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠C=∠BAG=45°}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△CAF（ASA），
∴AG=CF，
在△AGD和△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=FG}\\{∠GAD=∠C}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△DFC（SAS），
∴∠ADB=∠CDF．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．添加合适的辅助线，构造全等三角形是解本题的关键．