Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．当x=0，折痕EF的长为3，当点E与点A重合时，折痕EF的长为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 当x=0时，折痕EF的长正好等于矩形的长为3，当点E与点A重合时，画出符合要求的图形，得出∠DEF=∠FEP=45°，利用勾股定理得出答案．

解答 解：∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，
当AP=x=0时，点D与点P重合，
即为A，D重合，B，C重合，
那么EF=AB=CD=3；
当点E与点A重合时，如图所示：
∵点D与点P重合是已知条件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DFE=45°，
即：ED=DF=1，
利用勾股定理得出EF=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$
∴折痕EF的长为$\sqrt{2}$；
故答案为：3，$\sqrt{2}$；

点评 此题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理的应用；根据已知条件得出对应线段与对应角之间的关系是解决问题的关键．