Question

7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-8mx+16m-1（m＞0）与x轴的交点分别为A（x₁，0），B（x₂，0）．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若AB=2，求此抛物线的解析式．
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx²-8mx+16m-1（m＞0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）证明△＞0即可；
（2）利用抛物线与x轴的交点问题，则x₁、x₂为方程mx²-8mx+16m-1=0的两根，利用根与系数的关系得到x₁+x₂=8，x₁•x₂=$\frac{16m-1}{m}$，再变形|x₁-x₂|=2得到（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4，所以8²-4•$\frac{16m-1}{m}$=4，然后解出m即可得到抛物线解析式；
（3）先求出抛物线的对称轴为直线x=4，利用函数图象，由于抛物线开口向上，则只要当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，于是得到4m-16m+16m-1≥0，然后解不等式即可．

解答 （1）证明：△=64m²-4m•（16m-1）
=4m，
∵m＞0，
∴△＞0，
∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）根据题意，x₁、x₂为方程mx²-8mx+16m-1=0的两根，
∴x₁+x₂=-$\frac{-8m}{m}$=8，x₁•x₂=$\frac{16m-1}{m}$，
∵|x₁-x₂|=2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4，
∴8²-4•$\frac{16m-1}{m}$=4，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-8x+15；
（3）抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{-8m}{2m}$=4，
∵抛物线开口向上，
∴当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，
∴4m-16m+16m-1≥0，
∴m≥$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．