Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？

Answer 1

考点：相似形综合题,勾股定理

专题：几何综合题

分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t；
（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积；
（3）分两种情况，分别是DP=PC时和DC=PC时，分别EN的长度便可求出t的值．

解答：解：由∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm
易知：AB=8cm，BD=4cm，AC=8

3

cm，DC=12cm，AD=4

3

cm．
（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD-BE=3cm
∴t=

3

1

s=3s．

（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB上，则
∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1
∴BM=

3

3

cm
∴t=

3

3

s
当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，
设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=

3

3

x，
∵AD=AH+DH=

3

3

x+x=4

3

，
∴x=6

3

-3．
当

3

3

≤t≤4时，S_MNGH=1cm²
当4＜t≤6

3

-3时，S_MNGH=（t-3）²cm²
故S关于t的函数关系式为：
S=

1( 3 3 ≤t≤4) (t-3)2(4＜t≤6 3 -3)

．

（3）分两种情况：
①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，
∴MN=6cm
∴EN=3cm+6cm=9cm
∴t=9s
故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；
②当DC=PC时，DC=PC=12cm
∴NC=6

3

cm
∴EN=16cm-1cm-6

3

cm=（15-6

3

）cm
∴t=（15-6

3

）s
故当t=（15-6

3

）s时，△CPD为等腰三角形．
综上所述，当t=9s或t=（15-6

3

）s时，△CPD为等腰三角形．

点评：本题充分考查了学生对相似三角形和勾股定理的理解和运用，此题涉及到的知识点较多，有勾股定理．正方形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，利用学生系统的掌握知识，是一道好题．