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【题目】已知:如图,在中,分别是的中点,分别是对角线上的四等分点,顺次连接.

1)求证:四边形是平行四边形;

2)当满足____ 条件时,四边形是菱形;

3)若

①探究四边形的形状,并说明理由;

②当时,直接写出四边形的面积.

【答案】(1)见解析;(2) 满足条件时,四边形是菱形,理由见解析;(3)①四边形是矩形,理由见解析;②

【解析】

1)连接AC,由平行四边形的性质和已知条件得出EF分别为OBOD的中点,证出GF为△AOD的中位线,由三角形中位线定理得出GFOAOA,同理:EHOC,得出EH=GFEHGF,即可得出结论;

2)连接GH,证出四边形ABHG是平行四边形,再证明GHEF,即可得出四边形GEHF是菱形;

3)①由(2)得:四边形GEHF是平行四边形,得出GH=AB,证出GH=EF,即可得出四边形GEHF是矩形;

②作AMBDMGNBDN,则AMGN,证出GN是△ADM的中位线,得出,证出∠BAM=30°,由直角三角形的性质得出,得出,求出△EFG的面积=,即可得出结果.

1)证明:连接,如图所示:

∵四边形是平行四边形,

的中点在上,

分别是对角线上的四等分点,

分别为的中点,

的中点,

的中位线,

GFOAOA

同理:EHOC

EH=GFEHGF

∴四边形是平行四边形;

2)解:当满足条件时,四边形是菱形;理由如下:

连接,如图所示:

AG=BHAGBH

∴四边形是平行四边形,

ABGH

∴四边形是菱形;

故答案为:

3)解:①四边形是矩形;理由如下:

由(2)得:四边形是平行四边形,

∴四边形是矩形;

②作,如图所示:

AMGN

的中点,

的中位线,

的面积

∴四边形的面积的面积.

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