Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接BD，因为∠DAB＝90°可知BD为直径，所以∠BCD=90°，∠DEC+∠CDE=90°，利用等量代换即可求出∠BDC+∠CDE＝90°，即可得出答案；

（2）根据平行线的性质可知∠BDE=∠BFC＝90°，进而得出CB＝AB＝8，AF＝CF＝AC，利用勾股定理求出BD的值，根据△CFD∽△BCD，得出，即可得出答案.

解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，

∴点O必在BD上，即：BD是直径，

∴∠BCD＝90°，

∴∠DEC+∠CDE＝90°，

∵∠DEC＝∠BAC，

∴∠BAC+∠CDE＝90°，

∵∠BAC＝∠BDC，

∴∠BDC+∠CDE＝90°，

∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线；

（2）∵DE∥AC，∠BDE＝90°，

∴∠BFC＝90°，

∴CB＝AB＝8，AF＝CF＝AC，

在Rt△BCD中，BD＝

易得△CFD∽△BCD，

∴，

∴，

∴CF＝，

∴AC＝2CF＝．