Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋(1－m)x－m交x轴于A，B两点(点A在点B的左边)，交y轴负半轴于点C.

(1)如图1，m＝3

①直接写出A，B，C三点的坐标；

②若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标；

(2)如图2，过点E(m，2)作一直线交抛物线于点P，Q两点，连接AP，AQ，分别交y轴于M，N两点，求证：OMON是一个定值.

Answer 1

【答案】（1）①A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）；②D（4，5）；（2）见解析.

【解析】

（1）①将m=3代入抛物线y＝x2＋(1－m)x－m，得y=x2-2x-3，分别令x=0，y=0，即可得出A、B、C三点的坐标；
②过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，证明△OAC≌△HKA，可得K（2，1），用待定系数法求出直线CD的解析式，与抛物线联立解即可得出D的坐标；
（2）由题意，可得A（-1，0），B（m，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为直线PQ过点E（m，2），可得其解析式为y=ax+2-am，与抛物线联立并消去y，得：x2+（1-m-a）x+am-m+2=0，所以x1+x2=a+m-1，x1x2=am-m-2，作PS⊥x轴于点S，作QT⊥x轴于点T，证明△AMO∽△APS，可得OM=x1-m，同理ON=-（x2-m），代入计算OMON，即可得出OMON是一个定值．

解：（1）①当m=3时，y＝x2＋(1－3)x－3 =x2-2x-3，
当x=0时，y=-3，
当y=0时，x2-2x-3=0，
解得：x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）；
②如图1，过A作AK⊥AC交CD于点K，作KH⊥x轴于点H，

∵∠ACD=45°，
∴AC=AK，
∵∠AOC=∠KHA=90°，∠ACO=90°-∠OAC=∠KAH，
∴△OAC≌△HKA（AAS），
∴AH=CO=3，KH=OA=1，
∴K（2，1），
设直线CD的解析式为y=kx-3
∴2k-3=1，
∴k=2，
∴设直线CD的解析式为y=2x-3，
联立，

解得x=0（舍去），或x=4，
∴D（4，5）；
（2）∵y=x2+（1-m）x-m，

当y=0时，x2+（1-m）x-m=0，
解得x=-1或x=m，
∴A（-1，0），B（m，0），
∵过点E（m，2）作一直线交抛物线于P、Q两点，
设直线PQ的解析式为y=ax+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴2=am+b，b=2-am，
∴直线PQ的解析式为y=ax+2-am，
联立 ，
消去 y，得：x2+（1-m-a）x+am-m-2=0，
∴x1+x2=a+m-1，x1x2=am-m-2，
如图2，作PS⊥x轴于点S，作QT⊥x轴于点T，

∴PS∥y轴，
∴△AMO∽△APS，
∴，即 ，
∴OM=x1-m，
同理，ON=-（x2-m），
∴OMON=-（x1-m）（x2-m）=[x1x2m(x1+x2)+m2]=-[am-m-2-m（a+m-1）+m2]=2，为定值．