【题目】已知,如图,点D是等边三角形ABC的外接圆上的一点,过点D作圆的切线,交BC的延长线于F.
(1)用尺规作图,作出等边三角形ABC外接圆的圆心O;
(2)若⊙O的半径为2,∠F=45°,求CF的长.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)作出AC,BC边上的高所在的直线,两直线交于点O,点O即为所求.
(2)连接DO并延长交BC于G,AO交BC于H,根据CF=GF﹣GH﹣HC,求出GF,CH,GH即可.
(1)作图点O如图所示.
(2)连接DO并延长交BC于G,设AO交BC于H.
∵点O是△ABC外接圆的圆心,
∴AH是BC的垂直平分线,BO平分∠ABC,OB是⊙O的半径,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠OBH=30,
∴OH=OB=1,
∴在Rt△OBH中,BH=,
∴CH=BH=,
∵DF是⊙O的切线,
∴∠GDF=90°,
∵∠F=45°,
∴△DGF,△OGH是等腰直角三角形,
∴GH=OH=1,
∴在Rt△OGH中,OG=,
∴DF=DG=DO+GO=2+,
∴在Rt△DGF中,GF=,
∴CF=GF﹣GH﹣HC=.
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点B的坐标为(1,0)
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2;
(3)△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗?若成轴对称图形,画出所有的对称轴;
(4)△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗?若成中心对称图形,写出所有的对称中心的坐标.
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【题目】创客联盟的队员想用3D的打印完成一幅边长为6米的正方形作品ABCD,设计图案如图所示(四周阴影是四个全等的矩形,用材料甲打印;中心区是正方形MNPQ,用材料乙打印).在打印厚度保持相同的情况下,两种材料的消耗成本如表:
材料 | 甲 | 乙 |
价格(元/米2) | 50 | 40 |
设矩形的较短边AH的长为x米,打印材料的总费用为y元.
(1)MQ的长为 米(用含x的代数式表示);
(2)求y关于x的函数解析式;
(3)当中心区的边长不小于2米时,预备资金1700元购买材料一定够用吗?请说明理由.
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【题目】某货车销售公司,分别试销售两种型号货车各一个月,并从中选择一种长期销售,设每月销售量为x辆若销售甲型货车,每月销售的利润为y1(万元),已知每辆甲型货车的利润为(m+6)万元,(m是常数,9≤m≤11),每月还需支出其他费用8万元,受条件限制每月最多能销售甲型货车25辆;若销售乙型货车,每月的利润y2(万元)与x的函数关系式为y2=ax2+bx-25,且当x=10时,y2=20,当x=20时,y2=55,受条件限制每月最多能销售乙型货车40辆.
(1)分别求出y1、y2与x的函数关系式,并确定x的取值范范围;
(2)分别求出销售这两种货车的最大月利润;(最大利润能求值的求值,不能求值的用式子表示)
(3)为获得最大月利润,该公司应该选择销售哪种货车?请说明理由.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,点A(﹣4,0),点E (4,0),以AO为直径作⊙D,点G是⊙D上一动点,以EG为腰向下作等腰直角三角形EGF,连接DF,则DF的最大值是_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A(-5,0),以OA为半径作半圆,点C是第一象限内圆周上一动点,连结AC、BC,并延长BC至点D,使CD=BC,过点D作x轴垂线,分别交x轴、直线AC于点E、F,点E为垂足,连结OF.
(1)当∠BAC=30时,求△ABC的面积;
(2)当DE=8时,求线段EF的长;
(3)在点C运动过程中,是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,二次函数y=ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点c直线y=﹣x+4经过点B、C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)过点A的直线y=kx+k交抛物线于点M,交直线BC于点N,连接AC,当直线y=kx+k平分△ABC的面积,求点M的坐标;
(3)如图2,把抛物线位于x轴上方的图象沿x轴翻折,当直线y=kx+k与翻折后的整个图象只有三个交点时,求k的取值范围.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,以AB为直径的⊙O分别交边AD和对角线BD于点E、F,连接EF并延长交边BC于点G,连接BE。
(1)求证:AE=DE;
(2)若⊙O的半径为2,求EG的长
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