Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=DB；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形AFCD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）根据平行线的性质推出∠AFB=∠DBE，AAS证△AEF≌△DEB，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）推出AF=CD，根据平行四边形的判定得出平行四边形，求出AD=CD，根据菱形的判定推出即可．

解答：（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFB=∠DBE，
在△AEF和△DEB中

∠AEF=∠DEB ∠AFE=∠DBE AE=DE

∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=BD；

（2）四边形AFCD是菱形，
证明：∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
∵AF=BD，
∴AF=CD，
∵AF∥BC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB=90°，
∵D为BC的中点，
∴AD=DC，
∴四边形AFCD是菱形．

点评：本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．