Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+=0．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m值；

（3）过A点的直线y=kx﹣2k交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为﹣1，过N点的直线y=x﹣交AP于点M，试证明的值为定值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x+4；（2）m的值是或或1．（3）=2．

【解析】

试题分析：（1）求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；

（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，同法求出M的坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥x轴于N，MH⊥y轴于H，证△BHM≌△AMN，求出M的坐标即可．

（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．

解：（1）∵（a﹣2）2+=0，

∴a=2，b=4，

∴A（2，0），B（0，4），

设直线AB的解析式是y=kx+b，

代入得：，

解得：k=﹣2，b=4，

则函数解析式为：y=﹣2x+4；

（2）如图2，分三种情况：

①如图1，当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，

∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA，

∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，

∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，

∴∠ABO=∠NMB，

在△BMN和△ABO中，

，

∴△BMN≌△ABO（AAS），

MN=OB=4，BN=OA=2，

∴ON=2+4=6，

∴M的坐标为（4，6），

代入y=mx得：m=，

②如图2，

当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2），m=，

③如图4，

当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，

∴MN=MH，

设M（x，x）代入y=mx得：x=mx，

∴m=1，

答：m的值是或或1．

（3）解：如图3，结论2是正确的且定值为2，

设NM与x轴的交点为H，过M作MG⊥x轴于G，过H作HD⊥x轴，HD交MP于D点，连接ND，

由y=与x轴交于H点，

∴H（1，0），

由y=与y=kx﹣2k交于M点，

∴M（3，k），

而A（2，0），

∴A为HG的中点，

∴△AMG≌△ADH（ASA），

又因为N点的横坐标为﹣1，且在y=上，

∴可得N 的纵坐标为﹣k，同理P的纵坐标为﹣2k，

∴ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为﹣1、1

∴N与D关于y轴对称，

∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，

∴PN=PD=AD=AM，

∴=2．