Question

11．四边形ABDC在如图所示的平面直角坐标系中，将四边形ABDC向右平移4个单位长度后得四边形A₁B₁D₁C₁，再将四边形ABDC绕点O旋转180°后得到四边形A₂B₂D₂C₂．
（1）在图中画出四边形A₁B₁D₁C₁与四边形A₂B₂D₂C₂；
（2）四边形A₁B₁D₁C₁与四边形A₂B₂D₂C₂关于点P成中心对称，则点P的坐标为（2，0）；
（3）直接写出过A₂、B₂、D₂三点的外接圆的直径为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 （1）利用网格特点和平移、旋转的性质画图；
（2）根据中心对称的性质，点P为各对应点的连线的交点，然后确定P点位置，写出P点坐标；
（3）利用勾股定理分别计算出A₂D₂=$\sqrt{10}$，A₂B₂=B₂D₂=$\sqrt{5}$，则根据勾股定理的逆定理可判断过A₂、B₂、D₂三点的三角形为直角三角形，∠A₂B₂D₂=90°，然后根据圆周角定理可得到过A₂、B₂、D₂三点的外接圆的直径为$\sqrt{10}$．

解答 解：（1）如图，四边形A₁B₁D₁C₁与四边形A₂B₂D₂C₂为所作；

（2）点P的坐标为（2，0）；
（3）A₂D₂=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，A₂B₂=B₂D₂=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
因为A₂D₂²=A₂B₂²+B₂D₂²，
所以过A₂、B₂、D₂三点的三角形为直角三角形，∠A₂B₂D₂=90°，
所以A₂D₂为过A₂、B₂、D₂三点的外接圆的直径，即过A₂、B₂、D₂三点的外接圆的直径为$\sqrt{10}$．
故答案为（2，0），$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．利用勾股定理的逆定理和圆周角定理是解决（3）问的关键．