Question

【题目】已知：二次函数y=ax2+bx的图象经过点M（1，n）、N（3，n）．
（1）求b与a之间的关系式；
（2）若二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于点A、B，顶点为C，△ABC为直角三角形，求该二次函数的关系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵图象经过M（1，n）、N（3，n），

∴图象的对称轴为直线x=2，

∴﹣ =2，所以b=﹣4a；

（2）解：y=ax2﹣4ax的图象与x轴交于点A（0，0）、B（4，0），

∵△ABC为直角三角形，

∴顶点C坐标为（2，2）或（2，﹣2），

代入得4a﹣8a=2或4a﹣8a=﹣2，

∴a=﹣ 或 ，

∴该二次函数的关系式为：y=﹣ x2+2x或y= x2﹣2x．

【解析】（1）直接利用二次函数对称性得出对称轴，进而得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出C点坐标，进而得出答案．
【考点精析】利用抛物线与坐标轴的交点对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．