Question

11．（1）如图，在等边△ABC中，在BC边上任取一点P，过点P作AC的平行线，过点C作AB的平行线，两线交于点Q．求证：AP=BQ．
（2）在上面的条件下，点P在BC边上任意运动，延长AP交BQ于点D，请画出图形，问AD与BD+CD之间是否存在确定关系？若存在，请指明这个关系，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，根据平行线的性质得到∠CPQ=∠ACB=60°，∠PCQ=∠ABC=60°，推出△PCQ是等边三角形，得到CP=CQ，证得△ACP≌△BQC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，由平行线的性质得到∠QCP=∠ABC=60°，同理，∠CPQ=60°，推出△PCQ为等边三角形，于是得到CQ=CP，推出△BCQ≌△ACP，根据全等三角形的性质得到∠CBQ=∠CAP，在AP上截取点E，使AE=BD，证得△BCD≌△ACE，由全等三角形的性质得到CD=CE，∠ACE=∠BCD，推出△CDE为等边三角形，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）∵在等边△ABC中，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，
∵PQ∥AC，
∴∠CPQ=∠ACB=60°，
∵CQ∥AB，
∴∠PCQ=∠ABC=60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴CP=CQ，
在△ACP与△BQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACB=∠BCQ}\\{CP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BQC，
∴AP=BQ；

（2）AD=BD+CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，
∵CQ∥AB，
∴∠QCP=∠ABC=60°，
同理，∠CPQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴CQ=CP，
在△BCQ与△ACP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCQ=∠ACB}\\{CQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△BCQ≌△ACP，
∴∠CBQ=∠CAP，
在AP上取点E，使AE=BD，
在△BCD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBQ=∠CAP}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴CD=CE，∠ACE=∠BCD，
∵∠ACE+∠ECB=60°，
∴∠BCE+∠BCD=∠ECD=60°，
∵CD=CE，
∴△CDE为等边三角形，
∴CD=ED，
∴AD=AE+ED=BD+CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．