Question

当x依次取1，2，3，…，2009，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…，

1

2009

时，代数式

x2

1+x2

的值的和等于

 

．

Answer 1

分析：因为当x=

1

k

时和当x=k时，分别代入代数式

x2

1+x2

，再把它们所得的和相加的1.2，3，…，2009，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…，

1

2009

恰好分别对应互为相反数，从而问题的得解．

解答：解：∵当x=

1

k

时，

x2

1+x2

=

1

1+k2

，
当x=k时，

x2

1+x2

=

k 2

1+k2

，
故这两值相加得：

1

1+k 2

+

k 2

1+k2

=1，
∴当x依次取1，2，3，…2009，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…，

1

2009

时，
原式=

1

2

+

4

5

+

9

10

+…+

2009 2

1+2009 2

+

1

5

+

1

10

+…+

1 2009 2

1+ 1 2009 2

，
=

1

2

+（

4

5

+

1

5

）+（

9

10

+

1

10

）+…+（

2009 2

1+2009 2

+

1 2009 2

1+ 1 2009 2

），
=

1

2

+1+1+…1，
=2008

1

2

．

点评：本题考查因式分解在分式化简中的运用，在化简中注意不同的分式相加是一个常数．