Question

2．已知，如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC交⊙O于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，交⊙O于点H，AD与CH相交于点G，延长CH到点M，使MH=HG，延长DA到点K，使AK=AG，CA的延长线交MK于点F，求证：ME=MF．

Answer 1

分析 如图，连接AH、AM．首先证明∠HGA=∠HAG，推出HA=GH=HM，推出△MAG是直角三角形，即MA⊥KG，因为AG=AK，所以MG=MK，再证明△AGE≌△AKF，得EG=FK，即可解决问题．

解答 证明：如图，连接AH、AM．

∵OD⊥BC，
∴$\widehat{DB}$=$\widehat{DC}$，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BCH=∠ACH，∠BCH=∠BAH，
∴∠BAH=∠ACH，
∵∠HGA=∠ACH+∠CAG，∠HAG=∠BAH+∠BAD，
∴∠HGA=∠HAG，
∴HA=GH=HM，
∴△MAG是直角三角形，
∴MA⊥KG，
∵AG=AK，
∴MG=MK，
∴∠AGE=∠K，
∵∠FAK=∠CAD，∠BAD=∠DAC，
∴∠EAG=∠FAK，
在△AGE和△AKF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠K}\\{AG=AK}\\{∠EAG=∠FAK}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△AKF，
∴EG=FK，∵MG=MK，
∴ME=MF．

点评 本题考查圆综合题、直角三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AM⊥GK，学会添加常用辅助线，所以中考压轴题．