Question

如图，平行四边形ABCD的对角线AC=AB，⊙O经过A、B、C三点．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若点P在优弧AB上，连接AP、BP，且BC=8cm，AB=5cm，求∠APB的正弦值．

Answer 1

分析：（1）连接OA根据垂径定理得出OA⊥BC，推出OA⊥AD，根据切线的判定推出即可；
（2）求出BE和EC，求出∠APB=∠ACE，根据锐角三角函数的定义求出即可．

解答：（1）解：直线AD与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OA交BC于E，
∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
∴AO⊥BC，BE=EC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴OA⊥AD，
∵OA是半径，
∴直线AD是⊙O的切线；

（2）∵BC=8，
∴BE=EC=4，
∵AB=AC=5，
∴由勾股定理得：AE=3，
∵弧AB=弧AC，
∴∠APB=∠ACE，
则tan∠APB=tan∠ACE=

AE

CE

=

3

4

．

点评：本题考查了切线的判定，垂径定理，平行四边形的性质，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力．