【题目】如图①,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.
(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数;
(2)如图②,作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q,试探索∠Q、∠A之间的数量关系.
(3)如图③,延长线段BP、QC交于点E,△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,求∠A的度数.
【答案】(1)∠P=130°;(2)∠Q=90°-∠A;(3)∠A=60°、120°、90°
【解析】试题分析:(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义,首先求出∠1+∠2,进而求出∠BPC即可解决问题;
(2)根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN,再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ,最后根据三角形内角和定理即可求解;
(3)在△BQE中,由于∠Q=90°﹣∠A,求出∠E=∠A,∠EBQ=90°,所以如果△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,那么分四种情况进行讨论:①∠EBQ=2∠E=90°;②∠EBQ=2∠Q=90°;③∠Q=2∠E;④∠E=2∠Q;分别列出方程,求解即可.
试题解析:(1)如图①,∵在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,且∠A=80°,∴∠ABC+∠ACB=100°,∵∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ACB)=×100°=50°,∴∠BPC=180°﹣(∠1+∠2)=180°﹣50°=130°.
(2)如图②,∵∠MBC=∠A+∠ACB,∠BCN=∠ABC+∠A,∴∠MBC+∠BCN=∠A+∠ABC+∠ACB+∠A=180°+∠A.
∵BE,CQ分别为△ABC的外角∠MBC,∠NCB的角平分线,∴∠CBQ+∠BCQ=(180°+∠A),∴∠Q=180°﹣(∠CBQ+∠BCQ)=90°﹣∠A;
(3)如图③,连结BC并延长到点F.
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线,∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线,∴∠ACF=2∠ECF,∵BE平分∠ABC,∴∠ABC=2∠EBC,∵∠ECF=∠EBC+∠E,∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,即∠ACF=∠ABC+2∠E,又∵∠ACF=∠ABC+∠A,∴∠A=2∠E,即∠E=∠A;
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=∠ABC+∠MBC
=(∠ABC+∠A+∠ACB)=90°.
如果△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,那么分四种情况:
①∠EBQ=2∠E=90°,则∠E=45°,∠A=2∠E=90°;
②∠EBQ=2∠Q=90°,则∠Q=45°,∠E=45°,∠A=2∠E=90°;
③∠Q=2∠E,则90°﹣∠A=∠A,解得∠A=60°;
④∠E=2∠Q,则∠A=2(90°﹣∠A),解得∠A=120°.
综上所述,∠A的度数是90°或60°或120°.
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【题目】将一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放,点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C,将△EDF绕点D顺时针方向旋转α(0°<α<60°),DE′交AC于点M,DF′交BC于点N,则的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】设O是等边三角形ABC内一点,已知∠AOB=130°,∠BOC=125°,则在以线段OA,OB,OC为边构成的三角形中,内角不可能取到的角度是( )
A.65° B.60° C.45° D.70°
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【题目】在平面直角坐标系中,直角梯形AOBC的位置图所示,∠OAC=90°,AC∥OB,OA=4,AC=5,OB=6.M、N分别在线段AC、线段BC上运动,当△MON的面积达到最大时,存在一种使得△MON周长最小的情况,则此时点M的坐标为 .
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【题目】用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值,其中错误的是( )
A. 0.1(精确到0.1) B. 0.05(精确到千分位)
C. 0.05(精确到百分位) D. 0.0502(精确到0.0001)
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【题目】下列说法中正确的是( )
A. 有一组邻边相等的梯形是等腰梯形;
B. 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形;
C. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形;
D. 有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形.
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