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【题目】如图①,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P

(1)如果∠A=80°,求∠BPC的度数;

(2)如图②,作△ABC外角∠MBC∠NCB的角平分线交于点Q,试探索∠Q∠A之间的数量关系.

(3)如图③,延长线段BPQC交于点E△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,求∠A的度数.

【答案】(1)∠P=130°;(2)∠Q=90°-∠A;(3)∠A=60°、120°、90°

【解析】试题分析:(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义,首先求出1+2,进而求出BPC即可解决问题;

2)根据三角形的外角性质分别表示出MBCBCN,再根据角平分线的性质可求得CBQ+BCQ,最后根据三角形内角和定理即可求解;

3)在BQE中,由于Q=90°A,求出E=AEBQ=90°,所以如果BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,那么分四种情况进行讨论:①∠EBQ=2E=90°②∠EBQ=2Q=90°③∠Q=2E④∠E=2Q;分别列出方程,求解即可.

试题解析:(1)如图ABC中,A+ABC+ACB=180°,且A=80°∴∠ABC+ACB=100°∵∠1=ABC2=ACB∴∠1+2=ABC+ACB=×100°=50°∴∠BPC=180°1+2=180°50°=130°

2)如图∵∠MBC=A+ACBBCN=ABC+A∴∠MBC+BCN=A+ABC+ACB+A=180°+A

BECQ分别为ABC的外角MBCNCB的角平分线,∴∠CBQ+BCQ=180°+A),∴∠Q=180°CBQ+BCQ=90°A

3)如图,连结BC并延长到点F

CQABC的外角NCB的角平分线,CEABC的外角ACF的平分线,∴∠ACF=2ECFBE平分ABC∴∠ABC=2EBC∵∠ECF=EBC+E2ECF=2EBC+2E,即ACF=ABC+2E,又∵∠ACF=ABC+A∴∠A=2E,即E=A

∵∠EBQ=EBC+CBQ

=ABC+MBC

=ABC+A+ACB=90°

如果BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,那么分四种情况:

①∠EBQ=2E=90°,则E=45°A=2E=90°

②∠EBQ=2Q=90°,则Q=45°E=45°A=2E=90°

③∠Q=2E,则90°A=A,解得A=60°

④∠E=2Q,则A=290°A),解得A=120°

综上所述,A的度数是90°60°120°

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