Question

△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
（1）如图1，若∠A=70°，求∠E的度数；
（2）如图2，若∠A=90°，求∠E的度数；
（3）如图3，若∠A=130°，求∠E的度数；
根据上述结果，你能得到什么样的一般性结论？

Answer 1

解：（1）∵△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠EBC，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=∠A+∠EBC-∠EBC=∠A，
∵∠A=70°，
∴∠E=35°；

（2）∵△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠EBC，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=∠A+∠EBC-∠EBC=∠A，
∵∠A=90°，
∴∠E=45°；

（3）∵△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠EBC，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=∠A+∠EBC-∠EBC=∠A，
∵∠A=130°，
∴∠E=65°．

结论：∠E=∠A．
理由：∵△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，
∴∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠EBC，
∴∠E=∠ECD-∠EBC=∠A+∠EBC-∠EBC=∠A．
分析：由△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACM的平分线交于点E，根据角平分线的性质，可得∠ECD=∠ACD，∠EBC=∠ABC，然后利用三角形外角的性质，即可求得：∠ECD=∠ACD=∠A+∠EBC，∠E=∠ECD-∠EBC，则可求得∠E=∠A；则可将（1）∠A=70°，（2）∠A=90°，（3）∠A=130°分别代入求解即可求得答案．
点评：此题考查了三角形的外角的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解此题的关键是注意数形结合思想与整体思想的应用．