Question

19．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，沿CD折叠，使点B落在CA边上的B'处，展开后，再沿BE折叠，使点C落在BA边上的C'处，CD与BE交于点F．
（1）求AC'的长度；
（2）求证：E为B'C的中点；
（3）比较四边形EC'DF与△BCF面积的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据折叠求BC′=BC=3，再利用勾股定理求AB=5，可得结果；
（2）证明△AEC′∽△ABC，列比例式可求EC′=$\frac{3}{2}$，由折叠的性质得，CE=EC′=$\frac{3}{2}$，则E为B'C的中点；
（3）由图形可得：S_△BDC=S_△BFC+S_△BDF，S_△EC′B=S_{四边形EC′DF}+S_△BDF，只要比较△BDC和△EC′B的面积即可，作高线DG，根据三角函数求DG的长，分别求出两三角形的面积作比较即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，
由折叠的性质得，BC′=BC=3，
∴AC′=5-3=2；
（2）由折叠的性质得，∠AC′E=′ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEC′∽△ABC，
∴$\frac{AC′}{AC}$=$\frac{EC′}{BC}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{EC′}{3}$，
∴EC′=$\frac{3}{2}$，
由折叠的性质得，CB′=BC=3，CE=EC′=$\frac{3}{2}$
∴CE=$\frac{1}{2}$CB′，
∴E为B'C的中点；
（3）结论：S_{四边形EC′DF}＜S_△BCF，
理由是：如图，过D作DG⊥BC于G，
由折叠得：∠DCB=∠ACD=45°，
∴DG=CG，
设DG=x，则CG=x，BG=3-x，
tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}=\frac{DG}{BG}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{x}{3-x}=\frac{4}{3}$，
x=$\frac{12}{7}$，
∴DG=$\frac{12}{7}$，
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}$BC•DG=$\frac{1}{2}$×$3×\frac{12}{7}$=$\frac{18}{7}$，
∵S_△EC′B=S_△ECB=$\frac{1}{2}$BC•EC=$\frac{1}{2}$×$3×\frac{3}{2}$=$\frac{9}{4}$，
∵$\frac{18}{7}＞\frac{9}{4}$，
∴S_△BDC＞S_△EC′B，
∵S_△BDC=S_△BFC+S_△BDF，
S_△EC′B=S_{四边形EC′DF}+S_△BDF，
∴S_{四边形EC′DF}＜S_△BCF．

点评 本题考查了折叠的性质、三角函数、勾股定理、等腰直角三角形的性质以及三角形面积的求法，熟练掌握折叠的性质是关键，第三问利用等式的性质比较△BDC和△EC′B的面积即可．