Question

（1）如图（1），在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=20°，∠ACD=35°，求∠BDC的度数．
（2）图（1）所示的图形中，有像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，观察“规形图”图（2），试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由．
（3）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图（3），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=______°．
②如图（4）DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-62°=118°，
∵∠ABD=20°，∠ACD=35°，
∴∠DBC+∠DCB=118°-20°-35°=63°
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=117°；

（2）∠BDC=∠A+∠B+∠C．
理由：连接BC
在△ABC中，
∵∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠BCD=180°，
∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°-∠DBC-∠BCD，
在△DBC中，
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（3）①∵△XBC中，∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∵△ABC中，∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠ABX+∠ACX=130°-90°=40°．
故答案为：40；
②∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB=80°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC=∠ADB，∠AEC=∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC=（∠ADB+∠AEB）=40°，
∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=50°+40°=90°．
分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠ABC的度数，由∠ABD=20°，∠ACD=35°求出∠DBC+∠DCB的度数，再根据三角形内角和等于180°即可得出结论；
（2）连接BC，在△ABC中由三角形内角和定理可得出∠A+∠ABD+∠ACD=180°-∠DBC-∠BCD，同理，在△DBC中∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD，由此即可得出结论；
（3）①先根据△XBC中，∠X=90°可知∠XBC+∠XCB=90°，再根据△ABC中，∠A=50°即可得出∠ABC+∠ACB=130°，由此即可得出∠ABX+∠ACX的度数；
②先根据∠DAE=50°，∠DBE=130°得出∠ADB+∠AEB=80°，再由DC平分∠ADB，EC平分∠AEB可知∠ADC=∠ADB，∠AEC=∠AEB，故可得出∠ADC+∠AEC=（∠ADB+∠AEB）=40°，∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=50°+40°=90°．
点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．