Question

如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S_△ABE=S_△CBE，其中正确的结论是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠A=30°，再根据角平分线的定义求出∠ABE=∠CBE=30°，根据等角对等边可得BE=AE，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BE=2DE，根据线段垂直平分线上的定义可得BD=CD，然后表示出S_△ABE和S_△CBE，即可得解．

解答：解：∵∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，
∴∠A=90°-∠ABC=90°-60°=30°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠CBE=30°，
∴∠A=∠ABE，
∴BE=AE，故①正确；
根据直角三角形斜边大于直角边，AE=BE＞BD，故②错误；
在Rt△BDE中，∵∠CBE=30°，
∴BE=2DE，
∴AE=2DE，故③正确，
∵DA是BC的垂直平分线，
∴S_△CBE=

1

2

BC•DE=

1

2

×2BD•DE=BD•DE，
又∵S_△ABE=

1

2

AE•BD=

1

2

×2DE•BD=BD•DE，
∴S_△ABE=S_△CBE，故④正确，
综上所述，正确的结论有①③④．
故选C．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．