Question

已知方程ax²+bx+c=x（a＞0）的两个根x₁，x₂，满足0＜x₁＜x₂＜

1

a

．当0＜x＜x₁时，证明：x＜ax²+bx+c＜x₁．

Answer 1

考点：一元二次方程根的分布

专题：证明题

分析：方程ax²+bx+c=x（a＞0）的两个根是x₁，x₂，所以构造函数，当x∈（0，x₁）时，利用函数的性质推出x＜ax²+bx+c，然后作差x₁-（ax²+bx+c），化简分析出ax²+bx+c＜x₁，即可．

解答：证明：令F（x）=ax²+bx+c-x．因为x₁，x₂是方程ax²+bx+c-x=0的根，
所以F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
当x∈（0，x₁）时，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，又a＞0，得
F（x）=a（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜ax²+bx+c，
x₁-（ax²+bx+c）
=x₁-[x+F（x）]
=x₁-x+a（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+a（x-x₂）]
因为0＜x₁＜x₂＜

1

a

，
所以x₁-x＞0，1+a（x-x₂）=1+ax-ax₂＞1-ax₂＞0，
得x₁-（ax²+bx+c）＞0，
由此得ax²+bx+c＜x₁，
故x＜ax²+bx+c＜x₁．

点评：本题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．