Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，BC=40m，矩形EFPQ的四个定点分别在三边上．设EF=xm，矩形EFPQD的面积为ym²，当x为何值时，y的值最大？最大值是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：作CH⊥AB于H，交DG于T，设QE=z，根据△CQG∽△CAB，即可利用对应边的比相等，利用x表示出z的值，则矩形的面积即可利用x表示，利用二次函数的性质求解．

解答：解：作CH⊥AB于H，交DG于T，设QE=z，
在直角△ABC中，AB=

AC2+BC2

=5．
∴AB•CH=AC•BC，
∴5CH=3×4，
∴CH=2.4．
∵四边形QEFP是矩形，
∴DG∥EF，TH=DE，
∴△CQG∽△CAB，
∴

CT

CH

=

QE

AB

，
∴

2.4-x

2.4

=

z

5

，
∴z=5-

25

12

x，
设矩形的面积为y=xz=x（5-

25

12

x）
即y=-

25

12

x²+5x，
则当x=

5

25 6

=

6

5

时，y_最大=-

25

12

×

36

25

+5×

6

5

=3．

点评：本题是二次函数与矩形的综合应用，求图形的面积的最大值问题，常用的方法就是转化为函数问题，利用函数的性质求解．