Question

如图（1），在平面直角坐标系中，点A（n，m）在第一象限，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，（m-3）²+n²=6n-9，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．
（1）求m、n的值并写出A、B、C三点的坐标；
（2）若OF+BE=AB，求证：CF=CE；
（3）如图（2），若∠ECF=45°，给出两个结论：①OF+AE-EF的值不变； ②OF+AE+EF的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）已知等式变形后，利用非负数的性质求出m与n的值，即可确定出A，B，C的坐标；
（2）由AE+EB=AB，以及OF+BE=AB，得到AE=OF，根据四边形ABOC为正方形，得到CA=CO，且∠A=∠COF=90°，利用SAS得到三角形ACE与三角形OCF全等，利用全等三角形对应边相等得到CF=CE；
（3）结论①正确，即OF+AE-EF的值不变，理由为：在x轴负半轴上取点H，使OH=AE，连接CH，利用SAS得到三角形ACE与三角形OCH全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=HC，∠1=∠2，根据∠ACO=90°，∠ECF=45°，得到∠1+∠3=45°，等量代换得到∠2+∠3=45°，即∠ECF=∠HCF，利用SAS得到三角形ECF与三角形HCF全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=HF，而HF=OH+OF，等量代换得到EF=AE+OF，即AE+OF-EF=0．

解答：解：（1）将（m-3）²+n²=6n-9变形得：（m-3）²+（n-3）²=0，
∴m=3，n=3，
∴A（3，3），B（3，0），C（0，3）；
（2）∵OF+BE=AB，AE+EB=AB，
∴AE=OF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC=OC，∠A=∠COF=90°，
在△ACE和△OCF中，

AC=OC ∠A=∠COF AE=OF

，
∴△ACE≌△OCF（SAS），
∴CF=CE；
（3）结论①正确，即OF+AE-EF的值不变，理由为：
在x轴负半轴上取点H，使OH=AE，连接CH，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC=OC，∠A=∠COH=90°，
在△ACE和△OCH中，

AC=OC ∠A=∠COH=90° AE=OH

，
∴△ACE≌△OCH（SAS），
∴∠1=∠2，EC=HC，
∵∠ACO=90°，∠ECF=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠2+∠3=45°，即∠ECF=∠HCF，
在△ECF和△HCF中，

CE=CH ∠ECF=∠HCF CF=CF

，
∴△ECF≌△HCF（SAS），
∴EF=HF=HO+OF=AE+OF，
则OF+AE-EF=0．

点评：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，非负数的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．