Question

已知抛物线y=x²-2x+n与x轴交于不同的两点A，B，与y轴的交点在x轴的上方，其顶点是C．
（1）求实数n的取值范围；
（2）求顶点C的坐标；
（3）求线段AB的长；
（4）当AB=时，求抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）令x²-2x+n=0，由题意知，方程x²-2x+n=0有两不等实根，
∴△=b²-4ac=（-2）²-4n＞0
解得，n＜1．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴n＞0．
∴n的取值范围是0＜n＜1．

（2）由顶点坐标公式x_c=-=1，y_c==n-1，
∴顶点坐标公式为C（1，n-1）；

（3）由于A，B在x轴上，令x²-2x+n=0，
∵x=1±，
∴∠ACB=90°，
∴AB=

（4）依题意，得
解得，
∴抛物线的解析式为：
分析：（1）由抛物线与x轴交于不同的两点，得△＞0，由与y轴的交点在x轴的上方，得n＞0；
（2）直接由顶点坐标公式即得结果；
（3）用求根公式解得∠ACB=90°，即可求得线段AB的长；
（4）由线段AB的长求出n的值，即得抛物线的解析式；
点评：解答本题要抓住题中所给的每一个条件，充分的利用这些条件，得出所要求的量．