Question

5．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）直线PM交x轴交于点N，求过点P和点N且与BC平行的直线解析式；
（3）抛物线上是否有一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由；
（4）在第一象限内，对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把三点坐标代入函数式，列式求得a，b，c的值，即求出解析式；
（2）求得抛物线顶点P和N点的坐标，根据直线BC的斜率，设过点P、N的直线的解析式，根据待定系数法即可求得；
（3）根据（2）求得的两条直线的解析式，分别于抛物线的解析式联立方程，解方程即可求得点Q；
（4）求得点M，由点M，P的纵坐标关系可知，点R存在，y=2代入解得．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点代入抛物线解析式
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
即得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以二次函数式为y=-x²+2x+3；

（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
则顶点P（1，4），对称轴为直线x=1，
∴N（1，0），
由B，C两点坐标可求直线BC解析式为y=-x+3，
设过点P与直线BC平行的直线为：y=-x+b₁，
将点P（1，4）代入，得y=-x+5，
设过点N（1，0）与直线BC平行的直线为：y=-x+b₂，
将点N（1，0）代入，得y=-x+1，
∴过点P与直线BC平行的直线为：y=-x+5，设过点N（1，0）与直线BC平行的直线为：y=-x+1；

（3）存在，
理由：解$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∵点P（1，4），
∴点Q（2，3），
由对称轴及直线BC解析式可知M（1，2），PM=2，
∵MN=2，
∴PM=MN，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴Q（2，3）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或Q（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）；

（4）由题意求得直线BC代入x=1，则y=2，
∴M（1，2），
由点M，P的坐标可知：
点R存在，即过点M平行于x轴的直线，
则代入y=2，则-x²+2x+3=2，整理得x²-2x-1=0，
解得x=1-$\sqrt{2}$（在对称轴的左侧，舍去），x=1+$\sqrt{2}$，
即点R（1+$\sqrt{2}$，2）．

点评 本题考查了二次函数的综合运用，考查到了三点确定二次函数解析式，两直线平行，即斜率相等，两三角形面积相等，由同底等高；点M的纵坐标的长度是点P的一半，从而解得．本题逻辑思维性强，需要耐心和细心，是道好题．