Question

10．如图甲所示，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F，BE⊥AD交AD的延长线于E，求证：CF=BF，中点D到E，F的距离DE，DF是否相等？
（1）如图乙，将中线AD改为射线AM，那么“DE=DF”还成立吗？
（2）如图丙，将中线AD改为△ABC外一点射线AM，那么“DE=DF”还成立吗？
（3）如图丁“射线AM”改为“射线MN”，射线MN不过顶点A，那么“DE=DF”还成立吗？

Answer 1

分析 如图甲，根据AD是△ABC的中线，得到BD=CD，即可证明△BDE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等的性质即可得到结论；
（1）如图乙，连接DF，延长ED交CF于G，由CF⊥AM于F，BE⊥AM，得到BE∥CF，根据平行线的性质得到∠BED=∠CGD，推出△BDE≌△CDG，根据全等三角形的性质得到DE=DG，然后由直角三角形的性质即可得到结论；
（2）如图丙，方法同（1）；
（3）如图丁，方法同（1）．

解答 如图甲，证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD=90°}\\{∠BDE=∠CDF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE=CF，DE=DF；

（1）如图乙，连接DF，延长ED交CF于G，
∵CF⊥AM于F，BE⊥AM，
∴BE∥CF，
∴∠BED=∠CGD，
在△BDE和△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠DGC}\\{∠BDE=∠CDG}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDG，
∴DE=DG，
∵∠EFG=90°，
∴DF=DE=$\frac{1}{2}$EG；

（2）如图丙，延长ED交FC的延长线于G，
∵CF⊥AM于F，BE⊥AM，
∴∠BED=∠CGD，
在△BDE和△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠DGC}\\{∠BDE=∠CDG}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDG，
∴DE=DG，
∵∠EFG=90°，
∴DF=DE=$\frac{1}{2}$EG；

（3）如图丁，延长ED交CF于G，
∵CF⊥AM于F，BE⊥AM，
∴BE∥CF，
∴∠BED=∠CGD，
在△BDE和△CDG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠DGC}\\{∠BDE=∠CDG}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDG，
∴DE=DG，
∵∠EFG=90°，
∴DF=DE=$\frac{1}{2}$EG；

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，本题中求证△BDE≌△CDG是解题的关键．