Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点P，过点P作PE∥BC交AB于点E．
（1）求证：四边形EBCP是等腰梯形．
（2）若直角梯形ABCD的面积为72，AB=10，求△ADC的周长．

Answer 1

（1）证明：过A作AM⊥BC，垂足为M，
∵AD∥BC，∠DCB=90°，
∴四边形AMCD是矩形，
∵BC=2AD，
∴AD=MC=BM，
∴AM是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
又∵EP∥BC，
∴∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE，
∴AE=AP，
∴EB=PC，
∵直线BE、PC相交于点A，
∴EB不平行于PC，
∴四边形EBCP是等腰梯形．

（2）解：设AD=x，DC=y，
由（1）得：AB=AC=10，
又∵∠DCB=90°，
∴x²+y²=10²①，
又∵S_梯形ABCD=72，
∴（x+2x）•y=72，
即xy=48②，
由①、②得：（x+y）²-2xy=100，
∴（x+y）²=196，
即x+y=14，x+y=-14（不合题意舍去），
∴△ADC的周长为：x+y+AC=14+10=24．
分析：（1）首先过A作AM⊥BC，垂足为M，可证得四边形AMCD是矩形，继而可得AM是线段BC的垂直平分线，则可证得∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE，即可得四边形EBCP是等腰梯形．
（2）首先设AD=x，DC=y，易得x²+y²=10²①，（x+2x）•y=72，继而求得x+y的值，则可求得△ADC的周长．
点评：此题考查了等腰梯形的判定与性质、直角梯形的性质以及完全平方公式的应用．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．