Question

2．如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4，AB=8，tan∠C=$\frac{2}{3}$；边长为3的正方形EFMN的FM边在直线BC上，且M与B重合，并沿直线BC以每秒1个单位长度的速度向右运动，直至点M与C重合时停止．设运动时间为t秒．
（1）当正方形EFMN的顶点N，在线段BD和DC上时，求运动的时间t₁和t₂的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形EFMN与△DBC重合部分面积为S，请直接与出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t；
（3）如图2，将△ABD沿BD翻折，得到△BDP，取BD的中点Q，连接PQ，EP，QE，是否存在这样的t，使△PQE是直角三角形？若存在，求出对应t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形，AB=DH=8，AD=BH=4．当点N在BD上时，由MN∥DH，推出$\frac{MN}{DH}$=$\frac{BM}{BH}$，列出方程即可解决问题．当点N在CD上时，由tan∠C=$\frac{2}{3}$=$\frac{DH}{CH}$，得CH=12，由MN∥DH，得$\frac{MN}{DH}$=$\frac{CM}{CH}$，列出方程即可解决问题．
（2）分六种情形①如图2中，当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，重叠部分是△BKM．②如图3中，当$\frac{3}{2}$＜t≤3时，重叠部分是四边形MNGB．③如图4中，当3＜t≤$\frac{9}{2}$时，重叠部分是五边形MNGKF．④如图5中，当$\frac{9}{2}$＜t≤$\frac{23}{2}$时，重叠部分是正方形MNEF，此时S=9．⑤如图6中，当$\frac{23}{2}$＜t≤$\frac{29}{2}$时，重叠部分是五边形MKGEF．⑥如图7中，当$\frac{29}{2}$＜t≤16时，重叠部分是四边形MKGF．分别求解即可．
（3）分三种情形①如图8中，当∠EQP=90°时．②如图9中，当∠QPE=90°．③如图10中，当∠QEP=90°，作EH⊥QP于H．设QH=x．由△QHE∽△EHP，得$\frac{QH}{EH}$=$\frac{EH}{PH}$，列出方程即可求解．

解答 解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H，则四边形ABHD是矩形，AB=DH=8，AD=BH=4．

当点N在BD上时，∵MN∥DH，
∴$\frac{MN}{DH}$=$\frac{BM}{BH}$，
∴$\frac{3}{8}$=$\frac{t}{4}$，
∴t=$\frac{3}{2}$．
当点N在CD上时，∵tan∠C=$\frac{2}{3}$=$\frac{DH}{CH}$，
∴CH=12，
∵MN∥DH，
∴$\frac{MN}{DH}$=$\frac{CM}{CH}$，
∴$\frac{3}{8}$=$\frac{16-t}{12}$，
∴t=$\frac{23}{2}$．
∴t₁=$\frac{3}{2}$，t₂=$\frac{23}{2}$．

（2）①如图2中，当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，重叠部分是△BKM，

由$\frac{KM}{DH}$=$\frac{BM}{BH}$，得$\frac{KM}{8}$=$\frac{t}{4}$，
∴KM=2t，
∴S=$\frac{1}{2}$•t•2t=t²
②如图3中，当$\frac{3}{2}$＜t≤3时，重叠部分是四边形MNGB，

S=$\frac{1}{2}$•（t+t-$\frac{3}{2}$）•3=3t-$\frac{9}{4}$．
③如图4中，当3＜t≤$\frac{9}{2}$时，重叠部分是五边形MNGKF．

S=S_{正方形MNEF}-S_△EKG=9-$\frac{1}{2}$•（9-2t）•$\frac{1}{2}$（9-2t）=-t²+9t-$\frac{45}{4}$．
④如图5中，当$\frac{9}{2}$＜t≤$\frac{23}{2}$时，重叠部分是正方形MNEF，此时S=9．

⑤如图6中，当$\frac{23}{2}$＜t≤$\frac{29}{2}$时，重叠部分是五边形MKGEF，

S=S_{正方形MNEF}-S_△NKG=9-$\frac{1}{2}$•[3-$\frac{2}{3}$（16-t）]•$\frac{3}{2}$[3-$\frac{2}{3}$（16-t）]=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{23}{3}$t-$\frac{529}{12}$．
⑥如图7中，当$\frac{29}{2}$＜t≤16时，重叠部分是四边形MKGF．

S=S_△CFG-S_△CKM=$\frac{1}{2}$•（19-t）•$\frac{2}{3}$（19-t）-$\frac{1}{2}$（16-t）•$\frac{2}{3}$（16-t）=35-2t．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}}&{（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{3t-\frac{9}{4}}&{（\frac{3}{2}＜t≤3）}\\{-{t}^{2}+9t-\frac{45}{4}}&{（3＜t≤\frac{9}{2}）}\\{9}&{（\frac{9}{2}＜t≤\frac{23}{2}）}\\{-\frac{1}{3}{t}^{2}+\frac{23}{3}t-\frac{529}{12}}&{（\frac{23}{2}＜t≤\frac{29}{2}）}\\{35-2t}&{（\frac{29}{2}＜t≤16）}\end{array}\right.$
（3）①如图8中，当∠EQP=90°时，由FQ=4，可知BF=2，∴t=2．

②如图9中，当∠QPE=90°，易知BF=2+2$\sqrt{5}$，∴t=2+2$\sqrt{5}$．

③如图10中，当∠QEP=90°，作EH⊥QP于H．设QH=x．

∵△QHE∽△EHP，
∴$\frac{QH}{EH}$=$\frac{EH}{PH}$，
∵HE=1，QH=x，PH=2$\sqrt{5}$-x，
∴x（2$\sqrt{5}$-x）=1，
∴x=$\sqrt{5}$±2，
∴BF=2+（$\sqrt{5}$±2），
∴t=4+$\sqrt{5}$或$\sqrt{5}$．
综上所述，t=2s或（2+2$\sqrt{5}$）s或（4+$\sqrt{5}$）s或$\sqrt{5}$s时，△PQE是直角三角形．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分类讨论，需要画好图形，利用图形解决问题，属于中考压轴题．