Question

7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC=10，AD=2DC，连对角线AC、BD相交于点E
（1）①求证：BD平分∠ADC；②计算$\frac{AE}{CE}$的值
（2）如图2，点P是DE上一动点，连PC，过点P作PQ⊥PC交边AB于点Q，过点Q作QF⊥BD于点F，当P点运动过程中，猜想PF与BD的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）如图1，①解法一，根据对角互补的四边形四点共圆得：A、B、C、D四点共圆，由同弧所对的圆周角相等得：∠BAC=∠BDC，∠ACB=∠ADB，由等腰直角△ABC可知：∠BAC=∠ACB=45°，所以∠BDC=∠ADB=45°，从而得结论；
解法二，取两直角三角形斜边AC的中点G，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半构建两个等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得：BG⊥AC，则∠AGB=90°，再根据等边对等角和外角定理可得出结论；
②由角平分线性质列比例式得出；
（2）如图2，BD=$\frac{3}{2}$FP，理由是：先根据勾股定理求AC、AD、DC的长，由$\frac{AE}{EC}$=2求EC的长，过C作CM⊥BD于M，构建直角△CMP，证明△QFP∽△PMC，列比例式$\frac{FQ}{PM}=\frac{FP}{MC}$，设BF=a，则QF=2a，代入列方程求出PM=a，得到FP=2MC，再由线段的和得出结论．

解答 证明：（1）如图1，①解法一：∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠BAC=∠BDC，∠ACB=∠ADB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠BDC=∠ADB=45°，
∴BD平分∠ADC；
解法二：取AC的中点G，连接BG，做射线DG，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴BG=$\frac{1}{2}$AC，DG=$\frac{1}{2}$AC，
∴AG=DG=BG，
∴∠GAD=∠ADG，∠GBD=∠GDB，
设∠ADG=x，∠GDB=y，
∴∠ADB=x+y，
∵AB=BC，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，
∴∠AGB=90°，
∵∠AGO=∠GAD+∠ADG=2x，∠BGO=∠GBD+∠GDB=2y，
∴2x+2y=90°，
x+y=45°，
∴∠ADB=45°，
∴∠ADB=∠BDC=45°，
∴BD平分∠ADC；
②∵BD平分∠ADC；
∴$\frac{AD}{DC}=\frac{AE}{CE}$，
∵AD=2DC，
∴$\frac{AE}{CE}$=2；
（2）如图2，BD=$\frac{3}{2}$FP，理由是：
在Rt△ABC中，AB=BC=10，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}+1{0}^{2}}$=10$\sqrt{2}$，
由$\frac{AE}{EC}$=2得：EC=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$，
在Rt△ADC中，设DC=x，则AD=2x，
则x²+（2x）²=（10$\sqrt{2}$）²，
解得：x=±2$\sqrt{10}$，
∴CD=2$\sqrt{10}$，AD=4$\sqrt{10}$，
过C作CM⊥BD于M，
∵∠BDC=45°，
∴△MDC为等腰直角三角形，
∴CM=DM=$\frac{CD}{\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠DBC+∠ABD=90°，
∠ABD+∠BQF=90°，
∴∠DBC=∠BQF，
∵∠DBC=∠CAD，
∴∠BQF=∠CAD，
∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠BQF=$\frac{BF}{QF}$=$\frac{1}{2}$，
设BF=a，则QF=2a，
同理得∠MPC=∠FQP，
∵∠CMP=∠QFP=90°，
∴△QFP∽△PMC，
∴$\frac{FQ}{PM}=\frac{FP}{MC}$，
∴$\frac{2a}{PM}=\frac{PM+4\sqrt{5}-a}{2\sqrt{5}}$，
（PM+4$\sqrt{5}$）（PM-a）=0，
∴PM=a，
∴$\frac{FP}{MC}=\frac{2}{1}=2$，
∴FP=2MC=2MD=2（MP+PD）=2（BF+PD），
∴BD=BF+PD+FP=$\frac{1}{2}$FP+FP=$\frac{3}{2}$FP．

点评 本题是四边形的综合题，考查了四点共圆的判定和性质、等腰直角三角形、角平分线等性质，四边形与三角形结合，相似与三角函数相结合，列比例式，并设未知数，代入列方程可求解．