Question

10．如图1，已知抛物线l₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+3与y轴交于点A，过点A的直线l₂：y=kx+b与抛物线l₁交于另一点B，点A，B到直线x=2的距离相等．
（1）求直线l₂的表达式；
（2）将直线l₂向下平移$\frac{5}{2}$个单位，平移后的直线l₃与抛物线l₁交于点C，D（如图2），判断直线x=2是否平分线段CD，并说明理由；
（3）已知抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数）和直线y=3x+m有两个交点M，N，对于任意满足条件的m，线段MN都能被直线x=h平分，请直接写出h与a，b之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线的解析式求出抛物线与y轴的交点A的坐标，再根据点A，B到直线x=2的距离相等，求出点B的横坐标为4，因为B也在抛物线上，当x=4代入抛物线的解析式求出y的值，即是点B的坐标，再利用待定系数法求直线l₂的表达式；
（2）根据平移规律写出直线l₃表达式，计算出直线l₃与直线x=2的交点坐标（2，-1.5），根据二次函数和直线l₃的解析式列方程组求出C、D两点的坐标，由中点坐标公式计算CD的中点坐标，恰好与直线l₃与直线x=2的交点重合，所以直线x=2平分线段CD；
（3）先设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据M、N是抛物线和直线y=3x+m的交点，列方程组得：x₁+x₂=-$\frac{b-3}{a}$，由中点坐标公式列式可得结论．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，
∴A（0，3），
∴A到直线x=2的距离为2，
∵点A，B到直线x=2的距离相等，
∴B到直线x=2的距离为2，
∴B的横坐标为4，
当x=4时，y=-$\frac{1}{2}$×4²+4+3=-1，
∴B（4，-1），
把A（0，3）和B（4，-1）代入y=kx+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{4k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的表达式为：y=-x+3；
（2）直线x=2平分线段CD，理由是：
直线l₃表达式为：y=-x+3-$\frac{5}{2}$=-x+0.5，
当x=2时，y=-2+0.5=-1.5，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+0.5}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{y}_{1}=-4.5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=1.5}\end{array}\right.$，
∴C（-1，1.5）、D（5，-4.5），
∴线段CD的中点坐标为：x=$\frac{-1+5}{2}$=2，y=$\frac{1.5-4.5}{2}$=-1.5，
则直线x=2平分线段CD；
（3）$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}+bx+c}\\{y=3x+m}\end{array}\right.$，
ax²+（b-3）x+c-m=0，
则x₁、x₂是此方程的两个根，
x₁+x₂=-$\frac{b-3}{a}$，
∵线段MN都能被直线x=h平分，
设线段MN的中点为P，则P的横坐标为h，
根据中点坐标公式得：h=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{b-3}{2a}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的交点问题，与方程组相结合，理解上有难度；要熟知中点坐标公式：若A（a，b），B（m，n），则AB的中点坐标x=$\frac{a+m}{2}$，y=$\frac{b+n}{2}$；两函数图象的交点就是两函数解析式所列方程组的解．