Question

15．已知关于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；（温馨提示：整数点的横、纵坐标都为整数）
（3）若点P（x₁，y₁）与Q（x₁+n，y₂）在（2）中抛物线上 （点P、Q不重合），且y₁=y₂，求代数式4x₁²+12x₁n+5n²+16n+200的值．

Answer 1

分析 （1）利用△求出关于m的式子，然后证明关于m的式子大于或等于0即可；
（2）利用根与系数的关系即可求出m的值；
（3）利用二次函数图象的对称性可知：2x₁=-4-n，然后代入代数式化简即可求出答案．

解答 解：（1）由题意可知：△=（3m+1）²-4m×3=9m²-6m+1=（3m-1）²≥0，
∴不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）设抛物线与x轴交于（a，0）与（b，0），
令y=0代入y=mx²+（3m+1）x+3，
∴0=mx²+（3m+1）x+3，
∴a+b=-$\frac{3m+1}{m}$=-3-$\frac{1}{m}$，
ab=$\frac{3}{m}$，
∵a与b是整数，
∴$\frac{1}{m}$与$\frac{3}{m}$同为整数，
∵m是正整数，
∴m=1，
∴抛物线为y=x²+4x+3，
（3）由抛物线的对称性可知：
当y1=y2时，
∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{1}+n}{2}=-2$，
∴2x₁=-4-n，
∴原式=（-4-n）²+6n（-4-n）+5n²+16n+200=216．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及一元二次方程，根与系数的关系，代入求值等问题，综合程度较高．