Question

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，正方形DEFG的顶点D，E分别在边AC、BC上，顶点F、G都在边AB上．
（1）求证：GF²=AG•BF；
（2）若△ABC的面积为48，AB=12，求正方形DEFG的边长．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理得出△ADG∽△EBF，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）过点C作过C作CH⊥AB交DE于M，设正方形DEFG的边长为x，根据△ABC的面积为48，AB=12，得到CH=8，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF，∠DGF=∠EFG=90°，
∴∠DGA=∠EFB=90°，
∴∠A+∠B=∠FEB+∠B=90°，
∴∠A=∠FEB，
∴△AGD∽△EFB，
∴$\frac{AG}{EF}=\frac{DG}{BF}$，
即$\frac{AG}{GF}=\frac{GF}{BF}$，
∴GF²=AG•BF；

（2）过C作CH⊥AB交DE于M，
设正方形DEFG的边长为x，
∵△ABC的面积为48，AB=12，
∴CH=8，
∵DE∥AB，
∴CM⊥DE，△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CH}$=$\frac{DE}{AB}$，
即$\frac{8-x}{8}$=$\frac{x}{12}$，
∴x=$\frac{24}{5}$，
∴正方形DEFG的边长为$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．