Question

16．如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3．
（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积．
（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图2）．
探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由．
探究2：在运动过程中，延长HF交AB于G，三角形GEB能否为等腰三角形？若能，求出此时的t值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于三角形AHG和ACB相似，可通过相似比求出HG的值，然后根据三角形的面积计算公式即可求出三角形AHG的面积．
（2）①首先四边形CDH′H是个矩形，如果使四边形CDH′H成为正方形，那么需满足的条件是CD=DH′，可先根据AH：AC的值，求出HC的长即H′D的长，然后除以梯形的速度即可求出t的值．
②分三种情形，分别求解即可，注意t的取值范围；

解答 解：（1）∵AH：AC=2：3，AC=6
∴AH=$\frac{2}{3}$AC=$\frac{2}{3}$×6=4
又∵HF∥DE，
∴HG∥CB，
∴△AHG∽△ACB
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{HG}{BC}$，
即 $\frac{4}{6}$=$\frac{HG}{8}$，
∴HG=$\frac{16}{3}$，
∴S_△AHG=$\frac{1}{2}$AH•HG=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{16}{3}$=$\frac{32}{3}$．

（2）①能为正方形
∵HH′∥CD，HC∥H′D，
∴四边形CDH′H为平行四边形，
又∠C=90°，
∴四边形CDH′H为矩形，
又CH=AC-AH=6-4=2
∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形
此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形．
②如图，当BE₁=BG时，∵BG=$\frac{10}{3}$，
∴此时t=（8-4-$\frac{10}{3}$）÷1=$\frac{2}{3}$s．
当E₂G=E₂B时，作E₂M⊥AB于M．则BM=MG=$\frac{5}{3}$，
由△BME₂∽△BCA，可得$\frac{BM}{BC}$=$\frac{B{E}_{2}}{AB}$，
∴BE₂=$\frac{25}{12}$，
此时t=（8-4-$\frac{25}{12}$）÷1=$\frac{23}{12}$s．
当BG=BE₃时，t=（8+$\frac{10}{3}$）÷1=$\frac{34}{3}$s．
∵t≤8，
∴此种情形不存在．

综上所述，满足条件的时间t的值为$\frac{2}{3}$S或$\frac{23}{12}$s．

点评 本题着重考查了图形平移变换、三角形相似的判定和性质、多边形的面积计算、分段函数、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，不要漏解，属于中考压轴题．