Question

8．已知二次函数顶点在x轴上，且过A（1，0），B（0，2）两点．
（1）求二次函数的关系式；
（2）若直线y=2与此二次函数交于B、C两点，求△ABC面积；
（3）在抛物线上是否存在P点，使△BPC与△ABC面积的面积相等？若存在，求P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由二次函数y=ax²+bx+c顶点x轴上，得到b²-4ac=0，再把A、B两点代入抛物线解析式，列方程组即可解决问题．
（2）列方程组求出B、C坐标即可解决问题．
（3）存在．根据△BPC的面积与△ABC面积相等可得点P的纵坐标为4，列方程求出x即可．

解答 解：（1）∵二次函数顶点在x轴上，且过A（1，0），B（0，2）两点，
∴设次函数解析式为：y=a（x-h）²（a，h是常数，a≠0），
∴把点A（1，0）代入解析式得：0=a（1-h）²，即h=1，
∴把点B（0，2）代入解析式得：2=a（0-h）²，即a=2，
∴二次函数的关系式为：y=2（x-1）²；

（2）∵直线y=2与此二次函数交于B、C两点，
∴2=2（x-1）²，
解得x=0或x=2，
∴A（1，0），B（0，2），C（2，2），
∴BC=2，AB=AC=$\sqrt{5}$，
∴三角形ABC为等腰三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2=2；

（3）存在．
根据题意知点P的纵坐标为4时，△BPC的面积与△ABC面积相等，
当y=4时，2（x-1）²=4，
解得：x=1±$\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为（1+$\sqrt{2}$，4）、（1-$\sqrt{2}$，4）．

点评 本题考查待定系数法求二次函数解析式及三角形面积问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．