Question

17．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠EAD，AB=AC，AD=AE，连接CD、AE交于点F．
（1）求证：∠DCE=∠BAC；
（2）当∠BAC=∠EAD=30°，AD⊥AB时（如图2），延长DC、AB交于点G，请直接写出图中除△ABC、△ADE以外的等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）如图1，先证明△ACD≌△ABE，得∠ACD=∠ABC，根据三角形内角和与平角定义得出结论；
（2）如图2，图形中有四个等腰三角形：分别是①△ACF是等腰三角形，②△ADG是等腰直角三角形，③△DEF是等腰直角三角形；④△ECD是等腰三角形；根据已知角的度数依次计算各角的度数，根据两个角相等的三角形是等腰三角形得出结论．

解答 证明：（1）如图1，∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ACD≌△ABE，
∴∠ACD=∠ABC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∠ECD+∠ACD+∠ACB=180°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠BAC+2∠ACB=180°，
∠ECD+2∠ACB=180°，
∴∠BAC=∠ECD；
（2）如图2，
①∵∠BAC=∠EAD=30°，
∴∠ABC=∠ACB=∠AED=∠ADE=75°，
由（1）得：∠ACD=∠ABC=75°，
∠DCE=∠BAC=30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠CAE=30°，
∴∠AFC=180°-30°-75°=75°，
∴∠ACF=∠AFC，
∴△ACF是等腰三角形，
②∵∠BCG=∠DCE=30°，∠ABC=75°，
∴∠G=45°，
在Rt△AGD中，∠ADG=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
③∠EDF=75°-45°=30°，
∴∠DEF=∠DFE=75°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
④∵∠ECD=∠EDC=30°，
∴△ECD是等腰三角形．

点评 首先掌握等腰三角形的判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，本题借助于证明两三角形全等得出对应角相等，并结合三角形的内角和定理求角的度数，正确做出判断．