【题目】如图,平行四边形ABCD中,D点在抛物线y= x2+bx+c上,且OB=OC,AB=5,tan∠ACB= ,M是抛物线与y轴的交点.
(1)求直线AC和抛物线的解析式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动.问:当P运动到何处时,△APQ是直角三角形?
(3)在(2)中当P运动到某处时,四边形PDCQ的面积最小,求此时△CMQ的面积.
【答案】
(1)
解:如图1,∵tan∠ACB= ,
∴ = ,
∴设AO=3x,CO=4x,∵OB=OC,
∴BO=4x,
∴AB2=AO2+BO2,
则25=25x2,
解得:x=1(负数舍去),
∴AO=3,BO=CO=4,
∴A(0,3),B(﹣4,0),C(4,0),
∴设直线AC的解析式为:y=kx+d,
则 ,
解得: ,
故直线AC的解析式为:y=﹣ x+3;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=8,
∴D(8,3),
∵B,D点都在抛物线y= x2+bx+c上,
∴ ,
解得: ,
故此抛物线解析式为:y= x2﹣ x﹣3
(2)
解:①如图2,∵OA=3,OB=4,
∴AC=5.
设点P运动了t秒时,PQ⊥AC,此时AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,
∵PQ⊥AC,
∴∠AQP=∠AOC=90°,∠PAQ=∠ACO,
∴△APQ∽△CAO,
∴ = ,即 = ,
解得:t= .
②如图3,
设点P运动了t秒时,当QP⊥AD,此时AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,
∵QP⊥AD,
∴∠APQ=∠AOC=90°,∠PAQ=∠ACO,
∴△AQP∽△CAO,
∴ = ,即 = ,
解得:t= .
即当点P运动到距离A点 或 个单位长度处,△APQ是直角三角形
(3)
解:如图4,∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD,且S△ACD= ×8×3=12,
∴当△APQ的面积最大时,四边形PDCQ的面积最小,
当动点P运动t秒时,AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,
设△APQ底边AP上的高为h,作QH⊥AD于点H,
由△AQH∽△CAO可得: = ,
解得:h= (5﹣t),
∴S△APQ= t× (5﹣t)= (﹣t2+5t)=﹣ (t﹣ )2+ ,
∴当t= 时,S△APQ达到最大值 ,此时S四边形PDCQ=12﹣ = ,
故当点P运动到距离点A, 个单位处时,四边形PDCQ面积最小,
则AQ=QC= ,
故△CMQ的面积为: S△AMC= × ×4×6=6.
【解析】(1)首先利用锐角三角函数关系得出A,C点坐标,再求出一次函数解析式,根据平行四边形的性性质求出点D坐标,利用待定系数法可求出b、c的值,继而得出二次函数表达式;(2)设点P运动了t秒时,PQ⊥AC,此时AP=t,CQ=t,AQ=5﹣t,再由△APQ∽△CAO或△AQP∽△CAO,利用对应边成比例可求出t的值,继而确定点P的位置;(3)只需使△APQ的面积最大,就能满足四边形PDCQ的面积最小,设△APQ底边AP上的高为h,作QH⊥AD于点H,由△AQH∽△CAO,利用对应边成比例得出h的表达式,继而表示出△APQ的面积表达式,即可得出四边形PDCQ的最小值,也可确定点P的位置,进而得出Q的位置,进而得出△CMQ的面积.
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点,需要掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小才能正确解答此题.
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【题目】如图,河的两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上的两点,C、D是l2上的两点,某人在点A处测得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得∠DEB=60°,求C、D两点间的距离.
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【题目】某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动,现从中随机抽取部分作品,按A,B,C,D四个等级进行评价,并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
(1)求抽取了多少份作品;
(2)此次抽取的作品中等级为B的作品有 , 并补全条形统计图 ;
(3)若该校共征集到800份作品,请估计等级为A的作品约有多少份.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,D点在抛物线y= x2+bx+c上,且OB=OC,AB=5,tan∠ACB= ,M是抛物线与y轴的交点.
(1)求直线AC和抛物线的解析式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动.问:当P运动到何处时,△APQ是直角三角形?
(3)在(2)中当P运动到某处时,四边形PDCQ的面积最小,求此时△CMQ的面积.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①2a+b=0;②a+c>b;③抛物线与x轴的另一个交点为(3,0);④abc>0.其中正确的结论是(填写序号).
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【题目】4月26日,2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道A处的俯角为30°,B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是米.
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【题目】如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB交弧BC于点D,连接CD、OD,给出以下四个结论:①AC∥OD;②CE=OE;③△ODE∽△ADO;④2CD2=CEAB.其中正确结论的序号是 .
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【题目】阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,∠DAB=∠ABD,BE⊥AD,垂足为E,求证:BC=2AE.
小明经探究发现,过点A作AF⊥BC,垂足为F,得到∠AFB=∠BEA,从而可证△ABF≌△BAE(如图2),使问题得到解决.
(1)根据阅读材料回答:△ABF与△BAE全等的条件是 AAS(填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个)
参考小明思考问题的方法,解答下列问题:
(2)如图3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,E为DC的中点,点F在AC的延长线上,且∠CDF=∠EAC,若CF=2,求AB的长;
(3)如图4,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E分别在AB、AC边上,且AD=kDB(其中0<k< ),∠AED=∠BCD,求 的值(用含k的式子表示).
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