Question

7．在△ABC中，AC=25，AB=35，S_△ABC=350，点D为边AC上一点，且AD=5，点E，F是边AB上的动点（点F在点E的左边），且∠EDF=∠A，设AE=x，AF=y．
（1）如图1，CH⊥AB，垂足为点H，则CH=20，tan A=$\frac{4}{3}$；
（2）如图2，当点E，F在边AB上时，求y关于x的关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，当△DEC和△ADF相似时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积得到CH的值，根据勾股定理得到AH，然后根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）过点D作DG⊥AB，交AB于G，先证出△EDF∽△EAD，得出ED²=AE•EF，再求出DG、AG，最后根据EG=x-3，DE²=4²+（x-3）²得出4²+（x-3）²=x•（x-y），
再进行整理即可；
（3）先证出∠AFD=∠EDC，再分两种情况讨论：①当∠A=∠CED时，得出$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AF}{AE}$，$\frac{5}{25}$=$\frac{y}{x}$，再把y=6-$\frac{25}{x}$代入得出5（6-$\frac{25}{x}$）=x，再解方程即可；②当∠A=∠DCE时，根据△ECD∽△DAF得出$\frac{CD}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$，$\frac{20}{y}$=$\frac{x}{5}$，再把y=6-$\frac{25}{x}$代入得出5（6-$\frac{25}{x}$）=x，求出方程的解即可．

解答 解：（1）如图1，∵CH⊥AB，AB=35，S_△ABC=350，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH=350，
∴CH=20，
∴AH=$\sqrt{A{C}^{2}-C{H}^{2}}$=15，
∴tan A=$\frac{CH}{AH}$=$\frac{20}{15}$=$\frac{4}{3}$，
故答案为：20，$\frac{4}{3}$；

（2）如图2，过点D作DG⊥AB，交AB于G，
∵∠EDF=∠EAD，∠DEF=∠AED，
∴△EDF∽△EAD，
∴$\frac{ED}{EF}$=$\frac{AE}{ED}$，
∴ED²=AE•EF，
∴RT△AGD中，∠AGD=90°，AD=5，tanA=$\frac{4}{3}$，
∴DG=4，AG=3，
∴EG=x-3，
∴DE²=4²+（x-3）²，
∴4²+（x-3）²=x•（x-y），
∴y=6-$\frac{25}{x}$ （$\frac{25}{6}$≤x≤35）；
（3）∵∠A+∠AFD=∠EDF+∠EDC，且∠EDF=∠A，
∴∠AFD=∠EDC，
①当∠A=∠CED时，
∵∠EDF=∠A，
又∵∠CED=∠FDE，
∴DF∥CE
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AF}{AE}$，∴$\frac{5}{25}$=$\frac{y}{x}$，
∵y=6-$\frac{25}{x}$，
∴5（6-$\frac{25}{x}$）=x，
x₁=25，x₂=5；
②当∠A=∠DCE时，
∵∠EDF=∠A，
∴△ECD∽△DAF
∴$\frac{CD}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$，
∴$\frac{20}{y}$=$\frac{x}{5}$，
∵y=6-$\frac{25}{x}$，
∴5（6-$\frac{25}{x}$）=x，
∴x=$\frac{125}{6}$，
∴当△DEC和△ADF相似时，x=25或x=5或x=$\frac{125}{6}$．

点评 此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形．