抛物线y=-x2+x+5m+$\frac{5}{2}$与x轴交于A.B(x2.0)两点.(1)求该抛物线的解析式,(2)抛物线与y轴交于点C.在该抛物线的对称轴上是否存在点Q.使得△QAC的周长最小?若存在.求出点Q的坐标,若不存在.请说明理由．(3)抛物线的顶点为D.对称轴与x轴交于点H.点G是线段DH上任意一点.连接GB.点P从抛物线的顶点D出发.先沿抛物线的对称轴到达点G.再沿GB到� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．

抛物线y=-x²+（2m+3）x+5m+$\frac{5}{2}$与x轴交于A（-1，0），B（x₂，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）抛物线与y轴交于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点H，点G是线段DH上任意一点，连接GB，点P从抛物线的顶点D出发，先沿抛物线的对称轴到达点G，再沿GB到达点B，若点P在对称轴的运动速度是5v，它在直线GB上运动的速度为3v，试确定点G的位置，使得点P按照上述方法到达B所用时间最短．

分析（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得m的值，可求得抛物线解析式；
（2）由A、B关于对称轴对称可知QA+QC=QB+QC，可知当B、Q、C三点在一条线上时满足条件，由B、C坐标可求得直线BC的解析式，直线BC与对称轴的交点即为所求的Q点；
（3）如图2中，取G′（2，$\frac{9}{4}$），则BG′=$\frac{15}{4}$，连接BG′，作DM⊥BG′于M，GN⊥DM于N．由题意t=$\frac{DG}{5v}$+$\frac{BG}{3v}$=$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG），由△BHG′∽△DMG′，推出$\frac{HG′}{MG′}$=$\frac{BG′}{DG′}$，推出MG′=$\frac{3}{5}$DG′，同理证明NG=$\frac{3}{5}$DG，所以欲求$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG）的最小值只要求$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的最小值，根据垂线段最短可知，当点G与G′重合时，$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的值最小，由此即可解决问题．

解答解：（1）把A（-1，0）代入y=-x²+（2m+3）x+5m+$\frac{5}{2}$得0=-1-2m-3+5m+$\frac{5}{2}$，解得m=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x+5．

（2）存在．
理由：如图1中，由A、B关于对称轴对称可知QA+QC=QB+QC，可知当B、Q、C三点在一条线上时满足条件，

对于抛物线y=-x²+4x+5，令y=0得到x=-1或5，令x=0得到y=5，
∵A（-1，0），
∴B（5，0），C（0，5），
∴直线BC的解析式为y=-x+5，
∵抛物线的对称轴为x=2，
∴Q（2，3）．

（3）如图2中，取G′（2，$\frac{9}{4}$），则BG′=$\frac{15}{4}$，连接BG′，作DM⊥BG′于M，GN⊥DM于N．

由题意t=$\frac{DG}{5v}$+$\frac{BG}{3v}$=$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG），
∵△BHG′∽△DMG′，
∴$\frac{HG′}{MG′}$=$\frac{BG′}{DG′}$，
∴MG′=$\frac{3}{5}$DG′，同理证明NG=$\frac{3}{5}$DG，
∴欲求$\frac{1}{3v}$（$\frac{3}{5}$DG+BG）的最小值只要求$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的最小值，
根据垂线段最短可知，当点G与G′重合时，$\frac{1}{3v}$（GN+BG）的值最小，
此时G（2，$\frac{9}{4}$）．

点评本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的点评和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构造相似三角形，利用垂线段最短，解决最短问题，属于中考常考题型．

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