Question

设x₁，x₂是方程x²﹣x﹣1=0的两个根，则代数式x₁³+2x₂+x₁•x₂的值为__________．

Answer 1

0．

【考点】根与系数的关系．

【专题】计算题．

【分析】先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁x₂=﹣1，再利用x₁是方程x²﹣x﹣1=0的根得到x₁²﹣x₁﹣1=0，则x₁²=x₁+1，接着变形得到x₁³=2x₁+1，则x₁³+2x₂+x₁•x₂=2（x₁+x₂）+2x₁x₂，然后利用整体代入得方法计算．

【解答】解：根据题意得x₁+x₂=1，x₁x₂=﹣1，

∵x₁是方程x²﹣x﹣1=0的根，

∴x₁²﹣x₁﹣1=0，

∴x₁²=x₁+1，

∴x₁³=x₁（x₁+1）=x₁²+x₁=x₁+1+x₁=2x₁+1，

∴x₁³+2x₂+x₁•x₂=2x₁+1+2x₂+x₁•x₂=2（x₁+x₂）+2x₁x₂=2×1+2×（﹣1）=0．

故答案为0．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=，x₁x₂=．也考查了一元二次方程解的定义．