Question

9．如图，线段AB的长为10，C为AB上的一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是5．

Answer 1

分析 设AC=x，BC=10-x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CD′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（10-x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．

解答 解：设AC=x，BC=10-x，
∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，CD′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（10-x），
∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，
∴∠DCE=90°，
∴DE²=CD²+CE²=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$（10-x）²=x²-10x+50=（x-5）²+25，
∴当x取5时，DE取最小值，最小值为：5，
故答案为：5．

点评 本题主要考查了二次函数最值及等腰直角三角形，掌握用配方法求二次函数最值是解答此题的关键．