Question

如图：抛物线经过A(－3，0)、B(0，4)、C(4，0)三点．

(1)求抛物线的解析式．

(2)已知AD＝AB(D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

(3)在(2)的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

(注：抛物线y＝ax²＋bx＋c的对称轴为)

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法一：设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－4) 　　因为B(0，4)在抛物线上，所以4＝a(0＋3)(0－4)解得a＝－1/3 　　所以抛物线解析式为 　　解法二：设抛物线的解析式为， 　　依题意得：c＝4且　解得 　　所以　所求的抛物线的解析式为 　　(2)连接DQ，在Rt△AOB中， 　　所以AD＝AB＝5，AC＝AD＋CD＝3＋4＝7，CD＝AC－AD＝7－5＝2 　　因为BD垂直平分PQ，所以PD＝QD，PQ⊥BD，所以∠PDB＝∠QDB 　　因为AD＝AB，所以∠ABD＝∠ADB，∠ABD＝∠QDB，所以DQ∥AB 　　所以∠CQD＝∠CBA．∠CDQ＝∠CAB，所以△CDQ∽△CAB 　　　即 　　所以AP＝AD－DP＝AD－DQ＝5－＝， 　　所以t的值是 　　(3)答对称轴上存在一点M，使MQ＋MC的值最小 　　理由：因为抛物线的对称轴为 　　所以A(－3，0)，C(4，0)两点关于直线对称 　　连接AQ交直线于点M，则MQ＋MC的值最小 　　过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED＝∠BOA＝900 　　DQ∥AB，∠BAO＝∠QDE，△DQE∽△ABO 　　　即 　　所以QE＝，DE＝，所以OE＝OD＋DE＝2＋＝，所以Q(，) 　　设直线AQ的解析式为 　　则　由此得 　　所以直线AQ的解析式为　联立 　　由此得　所以M 　　则：在对称轴上存在点M，使MQ＋MC的值最小．